Question

已知数列a_n是首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列，并且2a1，

1

2

a3，a2成等差数列．
（I）求q的值
（II）若数列b_n满足b_n=a_n+n，求数列b_n的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（I）直接利用已知条件整理得到关于公比的等式，解之即可求出公比；
（II）利用求出的公比，先求出两个数列的通项公式，再对数列{b_n}采用分组求和即可．

解答：解：（I）由条件得a₃=2a₁+a₂：
得q²=2+q，
∴q=2或q=-1（舍），
∴q=2．
（II）∵a_n=2^n-1，
∴b_n=2^n-1+n．
∴T_n=（1+2+3+…+n）+（1+2¹+2²+…+2^n-1）
=

n(n+1)

2

+2ⁿ-1．

点评：本题考查等差数列与等比数列的基础知识，考查方程思想在解决数列问题中的应用以及等差数列和等比数列的前n项和公式的应用．主要考查学生的运算能力．