Question

【题目】已知函数，，对任意的，恒有成立.

（1）如果为奇函数，求满足的条件.

（2）在(1)中条件下，若在上为增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根据函数奇偶性的定义得恒成立，代入化简得，结合恒成立得到值，由一元二次不等式恒成立结合可得的取值范围；（2）根据单调性的定义和性质得恒成立，建立不等式关系在上恒成立即可得到结论．

（1）设的定义域为，

因为为奇函数，所以对任意，成立，

即，化简得，

因对于任意都成立，则.

因为对任意的，恒有成立，

所以对任意的，恒有，

即对任意的恒成立。

由，得

于是满足的条件为，.

（2）当时，。

因为在上为增函数，

所以任取，且，

恒成立，

也就是恒成立，所以，

结合（1），得实数的取值范围是。