Question

1．已知x，y，z是正实数，且x+4y+z=2．则$\frac{1}{x+y}$+$\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值为$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由x+4y+z=2得x+y+（3y+z）=2，利用“1”的代换代入$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$化简，由基本不等式求出$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值．

解答 解：由x+4y+z=2得，x+y+（3y+z）=2，
因为x，y，z是正实数，
所以$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$=$\frac{x+y+3y+z}{2（x+y）}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{3y+z}{2（x+y）}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$≥$\frac{1}{2}$+2$\sqrt{\frac{3y+z}{2（x+y）}•\frac{2（x+y）}{3y+z}}$=$\frac{5}{2}$，
当且仅当$\frac{3y+z}{2（x+y）}=\frac{2（x+y）}{3y+z}$时取等号，
所以$\frac{1}{x+y}+\frac{2（x+y）}{3y+z}$的最小值是$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查利用基本不等式求最值问题，将已知条件变形、利用“1”的代换进行化简是解决问题的关键，考查化简、变形能力．