Question

在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知bsin²AcosB=asin²BcosA，a+c=2+

2

，cosC=

3

4

．
（1）求证：△ABC为等腰三角形；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）直接根据bsin²AcosB=asin²BcosA，把所有的角都用边表示出来，整理后即可得到结论；
（2）结合（1）的结论以及余弦定理和a+c=2+

2

，求出b=a=2；再代入三角形的面积计算公式即可．

解答：解：（1）证明：因为bsin²AcosB=asin²BcosA，
由正弦定理和余弦定理得：b•a2•

a2+c2-b2

2ac

=a•b2•

b2+c2-a2

2bc

⇒a²+c²-b²=b²+c²-a²
所以a²=b²⇒a=b，所以△ABC为等腰三角形
（2）由cosC=

3

4

⇒cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

4

，又a=b
所以

2a2-c2

2a2

=

3

4

⇒

c

a

=

2

2

，又a+c=2+

2

所以a=2，c=

2

，b=a=2
于是S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2×2×

1-cos2C

=

7

2

点评：本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用问题．在解三角形时，一般常用思虑是：角转化为边，或边转化为角．本题用的角转化为边．