Question

如图，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A与AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

(1)求证：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；

(2)求直线AA₁到平面B₁BCC₁的距离；

(3)当AA₁多长时，点A₁到平面ABC与平面B₁BCC₁的距离相等?

Answer 1

解：(1)证明：CC₁∥BB₁，又BB₁⊥A₁E，∴CC₁⊥A₁E.而CC₁⊥A₁F，

∴CC₁⊥平面A₁EF，∴平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁.

(2)作A₁H⊥EF于H，则A₁H⊥面B₁BCC₁，∴A₁H为A₁到面B₁BCC₁的距离.在△A₁EF中，A₁E＝A₁F＝2，EF＝2，∴△A₁EF为等腰直角三角形且EF为斜边，∴A₁H为斜边上中线，可得A₁H＝EF＝1.

(3)作A₁G⊥面ABC于G，连结AG，则A₁G就是A₁到面ABC的距离，且AG是∠BAC的角平分线，A₁G＝1.

∵cos∠A₁AG＝.∴sin∠A₁AG＝.∴A₁A＝