Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于(a-c)，
(1)证明：椭圆上的点到F₂的最短距离为a-c；
(2)求椭圆的离心率e的取值范围；
(3)设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长S的最大值．

Answer 1

解：(1)假设椭圆上的任一点，则，
由椭圆方程易得，
显然当x₀=a时，|PF₂|取最小值a-c；
(2)依题意知，
当且仅当|PF₂|取得最小值时，|PT|取最小值，
∴，
又因为b-c＞0．得；
(3)依题意Q点的坐标为(1，0)，则直线l的方程为y=k(x-1)，
代入椭圆方程得，
设，
则，
又OA⊥OB，∴，即，
∴，即k=a，直线l的方程为ax-y-a=0，
圆心F₂(c，0)到直线l的距离，
由图象可知，
由得，
∴。