Question

（2010•九江二模）已知数列{an}中，a1=a＞0，an+1=

1+an 2

(n∈N+）．
（1）试求a的取值范围，使得a_n+1＞a_n恒成立；
（2）若a=

1

8

，Sn为数列{an}的前n项和，求证：Sn＞n-

49

40

；
（3）若a=2，记T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|（n=2，3，…），求证：T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1＞a_n恒成立，知

1+an 2

＞a_n，所以2a_n²-a_n-1＜0恒成立，故2a²-a-1＜0恒成立，由此能求出a的取值范围．
（2）当a=

1

8

时，{a_n}是增函数，由0＜a_n＜1，知n≥2时，

1

8

＜an＜1，从而当n≥2时，1-an+1＜

2

7

(1-an)，事实上，an+1＞

2

7

(1-an)等价于

1

8

＜an＜1．由此能够证明Sn＞n-

49

40

．
（3）当a=2时，由数学归纳法可证a_n＞1，n∈N^*．从而a n+12-an 2=

1+an

2

-an2=

(1+2an)(1-an)

2

＜0．于是，当n≥2时，T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n，由此能够证明T_n＜1．

解答：解：（1）∵数列{an}中，a1=a＞0，an+1=

1+an 2

(n∈N+）．
且a_n+1＞a_n恒成立，
∴

1+an 2

＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
∴2a²-a-1＜0恒成立，（a-1）（2a+1）＜0，
∵a＞0，∴2a+1＞0，
∴a＜1，
综上所述，a的取值范围0＜a＜1．
（2）当a=

1

8

时，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴{a_n}是增函数，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴

1+an 2

＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
解得-

1

2

＜an＜1．
∵{a_n}是增函数，且a1=

1

8

，
∴0＜a_n＜1，
∴n≥2时，

1

8

＜an＜1，
从而当n≥2时，an+1＞

2

7

an+

5

7

，
即1-an+1＜

2

7

(1-an)，
事实上，an+1＞

2

7

(1-an)
∴

1+an 2

＞

2

7

an+

5

7

∴49（1+a_n）＞2（2a_n+5）²
∴8a_n²-9a_n+1＜0
∴（8a_n-1）（a_n-1）＜0，
∴

1

8

＜an＜1．
而当n=1时，a2=

1+a1 2

=

3

4

=

2

7

a1+

5

7

，
于是1-a_n≤(

2

7

)n-1(1-a1)=

7

8

(

2

7

)n-1，
当且仅当n=1，2时，
等号成立，
∴n-S_n=（1-a₁）+（1-a₂）+…+（1-a_n）
＜

7

8

+

7

8

•

2

7

+…+

7

8

×(

2

7

)n-1
=

7 8 [1-( 2 7 )n]

1- 2 7

=

49

40

[1-(

2

7

)n]
＜

49

40

．
即Sn＞n-

49

40

．
（3）当a=2时，a₁=2，a_n+1=

1+an 2

，
①a₁=2＞1成立，
②假设a_k＞1，
则ak+1= 

1+ak 2

＞1，
由①②知a_n＞1，n∈N^*．
从而a n+12-an 2=

1+an

2

-an2=

(1+2an)(1-an)

2

＜0，
即a_n+1＜a_n，数列{a_n}递减，
于是，当n≥2时，
T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|
=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n
＜2-1
=1．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力．考查数列的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．