Question

P是椭圆

x2

25

+

y2

16

=1上位于X轴上方的一点，F₁，F₂是椭圆两焦点，三角形PF₁F₂内切圆半径为

3

2

，则P的纵坐标为（　　）

• A．2
• B．4
• C．2

  6

• D．

  5 5

  2

Answer 1

分析：根据椭圆方程求得焦距|F₁F₂|=6，由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=10．利用内切圆的性质把△PF₁F₂分割成3个三角形，根据三角形的面积公式算出△PF₁F₂的面积等于12，再利用面积相等建立关系式，即可求得P点的纵坐标．

解答：解：椭圆

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，可得焦点坐标为F₁（-3，0），F₂（3，0）．
根据椭圆的定义，可得|PF₁|+|PF₂|=10，|F₁F₂|=6，
设△PF₁F₂的圆心为I，
∵△PF₁F₂的内切圆半径为

3

2

，
∴S△PF1F2=S△PIF1+S△PIF2+S△IF1F2
=

1

2

|PF₁|r+|PF₂|r+|F₁F₂|r=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）×

3

2

=

1

2

（10+6）×

3

2

=12，
又∵设P的纵坐标为y_P，可得S△PF1F2=

1

2

|F₁F₂|•y_P=4y_P，
∴3y_p=12，解得y_p=4，即P的纵坐标为4．
故选：B

点评：本题给出椭圆的焦点三角形的内切圆的半径长，求点P的纵坐标，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、三角形的内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题．解决问题的关键是熟练掌握椭圆的定义与性质，熟练运用三角形的内切圆的有关知识．