题目内容

已知椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1与双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，P是椭圆和双曲线的一个交点，则|PF₁|•|PF₂|=________．

m-p
分析：先椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1与双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q；再根据点P为椭圆和双曲线的一个交点结合定义求出|PF₁|与|PF₂|的表达式，代入即可求出|PF₁|•|PF₂|的值．
解答：因为椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1与双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，
所以有：m-n=p+q；
设P在双曲线的右支上，左右焦点F₁、F₂：
利用椭圆以及双曲线的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ①
|PF₁|-|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ②
由①②得：|PF₁|= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，|PF₂|=m $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．
∴|PF₁|•|PF₂|=m-p．
故答案为：m-p．
点评：本题主要考查圆锥曲线的综合问题．解决本题的关键在于根据椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1与双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（m，n，p，q∈R⁺）有共同的焦点F₁、F₂，得到m-n=p+q，属中档题．