Question

【题目】已知函数（且）

（1）若在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（2）若有两个不同的极值点，记过点，的直线的斜率为k，求证：.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由在上恒成立，再转化为求函数最值．

（2）由（1）知时函数有两个极值点，，不妨设，从而有，求出，并凑配出，这样只要证明，再利用函数在单调性可证明．

解：定义域，

由在定义域内单调递增，等价于对任意，都有，

即恒成立，而，

故，又，所以.

（2）定义域，设，其判别式，当时，由（1）得由在定义域内单调递增，无极值点，

当时，，两根为，，当时，上；当时，；当时，.故在单调递增，在单调递减.即是函数的极值点，不妨设，则且.

，所以

，而，

而且得，故，所以，.

设，（），而，

所以在上单调递增，所以，而，故.