Question

已知函数f（x）=x²-（2a+1）x+alnx．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0，且a≠

1

2

，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，求出f（x）的解析式与导函数，计算f′（1）的值，即y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率；
（2）求f（x）的导函数f′（x），讨论a的取值，对应f′（x）的值是否大于0？小于0？从而确定f（x）的单调区间．

解答：解：（1）当a=2时，
f（x）=x²-（2a+1）x+aln x
=x²-5x+2ln x，
∴f′（x）=2x-5+

2

x

，
∴f′（1）=-1，
又f（1）=-4，
∴y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：x-1=-[y-（-4）]，即x+y+3=0．
（2）∵f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
∴f′（x）=2x-（2a+1）+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

（x＞0），
令f′（x）=0，可得x₁=

1

2

，x₂=a．
①当a＞

1

2

时，由f′（x）＞0?x＞a或x＜

1

2

，
∴f（x）在（0，

1

2

），（a，+∞）上单调递增．
由f′（x）＜0?

1

2

＜x＜a．
∴f（x）在（

1

2

，a）上单调递减．
②当0＜a＜

1

2

时，由f′（x）＞0可得f（x）在（0，a），（

1

2

，+∞）上单调递增．
由f′（x）＜0可得f（x）在（a，

1

2

）上单调递减．

点评：本题考查了利用导函数来求函数在某一点处的斜率以及研究函数的单调性问题，是较难的题目．