Question

已知函数f(x)＝＋lnx．

(Ⅰ)若函数f(x)在[1，＋∞)上为增函数，求正实数a的取值范围；

(Ⅱ)当a＝1时，求f(x)在[，2]上的最大值和最小值；

(Ⅲ)当a＝1时，求证：对大于1的任意正整数n，都有lnn＞＋＋＋…＋．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)∵　∴　1分 　　∵函数在上为增函数 　　∴对恒成立， 　　∴对恒成立，即对恒成立 　　∴　4分 　　(Ⅱ)当时，， 　　∴当时，，故在上单调递减； 　　当时，，故在上单调递增，6分 　　∴在区间上有唯一极小值点，故 　　又 　　∵ 　　∴ 　　∴在区间上的最大值 　　综上可知，函数在上的最大值是，最小值是0．8分 　　(Ⅲ)当时，，，故在上为增函数． 　　当时，令，则，故　10分 　　∴，即　11分 　　∴ 　　∴　13分 　　∴ 　　即对大于1的任意正整数，都有　14分