Question

已知向量

a

=(1，0)，

b

=(x，1)，当x＞0时，定义函数f(x)=

a • b

| a |+| b |

．
（1）求函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）；
（2）数列{a_n}满足：a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，S_n为数列{a_n}的前n项和，
①证明：S_n＜2a；
②当a=1时，证明：an＞

1

2n

．

Answer 1

分析：由题意得f(x)=

x

1+ 1+x2

（x＞0），令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，则f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

，由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y=

x

1+ 1+x2

，反解x可得x=

2y

1-y2

，所以原函数的反函数y=f-1(x)=

2x

1-x2

（0＜x＜1）
（2）因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

①利用放缩法．an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1），所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1，进而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n-1=2n于是可得结论．

解答：解：由题意得f(x)=

x

1+ 1+x2

（x＞0）
令x=tanα(α∈(0，

π

2

))，则f(x)=

tanα

1+ 1+tan2α

=

sinα

1+cosα

=tan

α

2

由于α∈(0，

π

2

)⇒

α

2

∈(0，

π

4

)，所以tan

α

2

∈(0，1)，即函数f（x）的值域为（0，1）
（1）由y=

x

1+ 1+x2

⇒y-x=y

1+x2

⇒y²-2xy+x²=y²+y²x²
于是解得x=

2y

1-y2

，所以原函数的反函数y=f-1(x)=

2x

1-x2

（0＜x＜1）
（2）证明：因为a₁=a＞0，a_n+1=f（a_n），n∈N^*，所以an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

∴an+1=

an

1+ 1+ a 2 n

＜

an

2

，所以Sn=a1+a2+…+an＜a+

1

2

a+

1

22

a+…+

1

2n-1

a=a+a(

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

)=a+a(1-

1

2n-1

)＜2a
②因为a_n+1=f（a_n），所以a_n=f^-1（a_n+1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

，又由原函数的值域知a_n+1∈（0，1）
所以an=

2an+1

1- a 2 n+1

＜

2an+1

1-an+1

，则

1

an

＞

1

2an+1

-

1

2

⇒

1

an+1

＜

2

an

+1
进而(

1

an+1

+1)＜2(

1

an

+1)，所以

1

an

+1＜(

1

a1

+1)•2n-1=2n
于是an＞

1

2n-1

＞

1

2n

点评：本题以新定义为载体，考查函数及反函数的求解，考查不等式的证明，解题的关键是适当放缩，难度较大．