Question

．（本小题满分12分）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，.
（1）求证：；
（2）若，且，求实数的取值范围；
（3）若是上的单调递增函数，是函数的稳定点，问是函数的不动点吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.

Answer 1

解：（1）若，则显然成立；若，设，
则，，故.    …………3分
（2）有实根，.又，所以，
即的左边有因式，
从而有.        …………5分
，要么没有实根，要么实根是方程的根.若没有实根，
则；若有实根且实根是方程的根，
则由方程，得，
代入，有.由此解得，再代入得，由此，
故a的取值范围是.         …………8分
（3）由题意：是函数的稳定点则，设，
是上的单调增函数，则，
所以，矛盾.
若，是上的单调增函数，则，
所以，矛盾，故，
所以是函数的不动点.        …………12分

略