Question

定义M_xⁿ=x（x+1）（x+2）…（x+n-1）（x∈R，n∈N^*），如M_-4⁴=（-4）×（-3）×（×2）×（-1）=24．对于函数f（x）=M_x-1³，给出下列四个命题：
①f （x）的最大值为

2 3

9

；②f （x）为奇函数；③f（x）的图象不具备对称性；④f （x）在(-

3

3

，

3

3

)上是减函数，
真命题是

②④

（填命题序号）．

Answer 1

分析：由题中条件可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x，对函数求导可得，f′（x）=3x²-1，
①通过研究函数的单调区间求解函数的极值及最值进行判断；②利用奇函数的定义验证f（-x）=-f（x）是否成立；③结合②的讨论可进行判断即可④由①的讨论可知

解答：解：由题意可得，f（x）=M_x-1³=（x-1）（x）（x+1）=x（x²-1）=x³-x
①：f′（x）=3x²-1，
由f′（x）＞0可得x＞

3

3

或x＜-

3

3

；由f′（x）＜0可得-

3

3

＜x＜

3

3

所以可得函数在（-∞，-

3

3

），(

3

3

，+∞)单调递增，在（-

3

3

，+

3

3

）单调递减
故可得函数在x=-

3

3

处取得极大值

2 3

9

，而没有最大值①错误
②：f（-x）=（-x）³+x=-x³+x=-f（x），故函数为奇函数，②正确
③：由②可得函数的图象关于原点对称③错误
④：由①的讨论可知④正确
故答案为：②④

点评：本题以新定义为载体，综合考查了函数的性质，解答本题的关键是要根据题目中的定义求解出函数的解析式，进而结合导数的知识求解．