题目内容

已知向量 $数学公式$ ，函数 $数学公式$ （ω＞0）的图象的两相邻对称轴间的距离为 $数学公式$ ．
（1）求ω值；
（2）若 $数学公式$ ，且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的值．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin（π-ωx）cosωx-cos²ωx+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2ωx- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =sin（2ωx- $\text{[math]}$ ），
再由函数f（x）的图象的两相邻对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得ω=2，函数f（x）=sin（4x- $\text{[math]}$ ）．
（2）若 $\text{[math]}$ ，则有 0＜x≤ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ＜4x- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ≤sin（4x- $\text{[math]}$ ）≤1．
由f（x）=m有且仅有一个实根，可得函数f（x）的图象和直线y=m只有一个交点．
令t=4x- $\text{[math]}$ ，h（t）=sint，t∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，则函数 h（t）的图象和直线y=m只有一个交点，如图所示：
数形结合可得∴m=1，或m=- $\text{[math]}$ ．
分析：符号错误：w应该是ω．
（1）利用两个向量的数量积的运算求出f（x）=sin（2ωx- $\text{[math]}$ ），再根据图象的两相邻对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ 求得ω=2．
（2）若 $\text{[math]}$ ，求得- $\text{[math]}$ ≤sin（4x- $\text{[math]}$ ）≤1，令t=4x- $\text{[math]}$ ，h（t）=sint，t∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，则函数 h（t）的图象和直线y=m只有一个交点，数形结合求出m的值
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数y=Asin（ωx+∅）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．