Question

设函数f（x）=|x²-4x-5|，g（x）=k．
（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象．
（2）若函数f（x）与g（x）有3个交点，求k的值；
（3）试分析函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数．

Answer 1

解：（1）f（x）=|x²-4x-5|=，如图．
（2）∵g（x）的图象是一条与x轴平行的直线
函数f（x）与g（x）有3个交点
由f（x）的图象（下图）可知此时g（x）的图象经过
y=-（x²-4x-5）的最高点
即g（x）=k==9
∴k=9
（3）∵函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数即函数f（x）与g（x）的交点个数
又∵g（x）的图象是一条与x轴平行的直线
∴由f（x）的图象（右图）可知
k=0或k＞9时，函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数为2个
0＜k＜9时，函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数为4个
k=9时，函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数为3个
k＜0时，函数?（x）=|x²-4x-5|-k的零点个数为0个
分析：（1）先去掉绝对值，将函数f（x）转化为分段函数，再分段画出函数的图象即可画出在区间[-2，6]上函数f（x）的图象；（2）因为g（x）的图象是一条与x轴平行的直线，故数形结合即可得k的值；（3）先将函数零点问题转化为函数图象的交点个数问题，再利用两函数的图象即可数形结合讨论零点个数与k的范围
点评：本题综合考查函数的图象和性质以及利用图象和性质解决实际问题的能力，二次函数的图象和性质、函数的零点及绝对值函数的综合运用，本题对思维能力要求较高，去掉绝对值是解决问题的关键