题目内容
已知函数f（x）=lnx+cosx（x∈[π，2π]）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）的值域；
（2）证明方程f（x）=x-π在[π，2π]上必有一根．
（1）判断函数f（x）的单调性，并求函数f（x）的值域；
（2）证明方程f（x）=x-π在[π，2π]上必有一根．
（1）[π，2π]内，f1（x）=lnx是增函数，f2（x）=cosx也是增函数，…（2分）
∴f（x）=lnx+cosx在[π，2π]内是增函数．…（3分）
∴fmin(x)=f(π)=lnπ-1=ln
，fmax（x）=f（2π）=ln2π+1=ln2πe，…（5分）
∴函数f（x）的值域是[ln
，ln2πe]．…（6分）
（2）设g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，…（8分）
由g（π）=lnπ-1＞lne-1=0，g（2π）=ln2π+1-π＜lne2+1-π=3-π＜0，…（12分）
∵g（π）•g（2π）＜0，…（13分）
∴方程f（x）=x-π在[π，2π]必有一根．…（14分）
∴f（x）=lnx+cosx在[π，2π]内是增函数．…（3分）
∴fmin(x)=f(π)=lnπ-1=ln
| π |
| e |
∴函数f（x）的值域是[ln
| π |
| e |
（2）设g（x）=f（x）-x+π=lnx+cosx-x+π，…（8分）
由g（π）=lnπ-1＞lne-1=0，g（2π）=ln2π+1-π＜lne2+1-π=3-π＜0，…（12分）
∵g（π）•g（2π）＜0，…（13分）
∴方程f（x）=x-π在[π，2π]必有一根．…（14分）
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