Question

在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB₁上，且BM=B₁M，又CM⊥AC₁;

（1）求证：CM⊥C₁D;

（2）求AA₁的长.

Answer 1

（1）证明：在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D为BC中点，则AD⊥面BCC₁B₁，从而AD⊥MC.

又∵CM⊥AC₁，则MC和平面ADC₁内两相交直线AD，AC₁均垂直,

∴MC⊥面ADC₁，于是MC⊥DC₁.

（2）解：在矩形BB₁C₁C中，由CM⊥DC₁，

知△DCC₁∽△BMC，设BB₁=h,则BM=h，∴h:a=∶h，

求得h=a，从而所求AA₁=a.