Question

求过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：
（1）过原点；        
（2）有最小面积．

Answer 1

分析：过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点的圆的方程可设为（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0
（1）将（0，0）代入圆系方程，即可得到所求圆的方程；
（2）化为一般式，求出圆的半径的不等式，求出其最小值，从而可得圆的方程．

解答：解：过直线2x+y+4=0和圆x²+y²+2x-4y+1=0的交点的圆的方程可设为（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0
（1）将（0，0）代入，可得1+4λ=0，∴λ=-

1

4

，
∴圆的方程为x2+y2+

3

2

x-

17

4

y=0；   
（2）（x²+y²+2x-4y+1）+λ（2x+y+4）=0可化为x²+y²+（2λ+2）x+（λ-4）y+1+4λ=0
∴圆的半径为

(2λ+2)2+(λ-4)2-4(1+4λ) 4

=

5 4 (λ- 8 5 )2+ 4 5

∴λ=

8

5

时，半径最小，此时面积最小，
所以圆的方程为(x+

13

5

)2+(y-

6

5

)2=

4

5

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆系方程，考查学生的计算能力，属于中档题．