Question

已知数列{a_n}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=

n+1

2

an+1（n∈N*）．
（1）证明数列{na_n}（n≥2）为等比数列；
（2）求数列{n²a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得a₁+2a₂+3a₃+…+na_n-1=

n

2

an，两者相减，整理可得

(n+1)an+1

nan

=3，从而可得数列{a_n}为等比数列
（2）根据题意，求出n²a_n通项公式，利用错位相减可求数列的和

解答：（1）证明：：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=

n+1

2

an+1①，
∴n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=

n

2

an②
①-②得na_n=

n+1

2

an+1-

n

2

an
3na_n=（n+1）a_n+1
即

(n+1)an+1

nan

=3
∵a₁=1，∴a₂=1
∴

2a2

a1

=2≠3
∴n≥2时，数列{na_n}为等比数列
（2）由（1）可得na_n=

1，n=1 2•3n-2，n≥2

∴n2an=

1，n=1 2n•3n-2，n≥2

则当n=1时，T₁=1
∴当n≥2时，
T_n=1+2[2×3⁰+3×3¹+…+n×3^n-2]
 3T_n=3+2[2×3¹+3×3²+…+（n-1）•3^n-2+n•3^n-1]
相减得2T_n=2+2[n•3^n-1-（2+3+3²+2³+…+3^n-2）]=（2n-1）3^n-1+1（n≥2）
T_n=

(2n-1)•3n-1+1

2

（n≥2）
又T₁=1，符合T_n的形式，
∴T_n=

1

2

（2n-1）•3ⁿ+1（n∈N^*）

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握