Question

已知函数f（x）=-x³+ax²-4，
（1）若f（x）在处取得极值，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若关于x的方程f（x）=m在[-1，1]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）若存在x₀∈（0，+∞），使得不等式f（x₀）＞0成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1） 由题意，得， 解得：， 经检验满足条件。 （2）由（1）知，，则， 令，则或（舍去）， 当x变化时，的变化情况见下表： x -1 （-1，0） 0 （0，1） 1   - 0 +   -1 递减 极小值-4 递增 极大值-3 ∵关于x的方程在[-1，1]上恰有两个不同的实数根， ∴。 （3）由题意，得， ， ∴， ①若，则当时，， ∴在上单调递增， ， ∴当时，， ∴当时，不存在，使； ②当a>0时，随x的变化情况见下表： x （，+∞） + 0 - 递增 极大值 递减 ∴当时，， 由得， 综上，得。