Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，S_n为其前n项和，且满足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3，n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若f（x）=2^x-1，c_n=，Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n），求证Q_n＜（n∈N*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1得（n≥3，n∈N^*），利用累加法可求得a_n，注意验证a₁=3，a₂=5的情形；
（2）由（1）易求，利用错位相减法可求得T_n；
（3），利用裂项相消法可求得Q_n，然后适当放缩可证明不等式；
解答：解：（1）由，
∵a₂=5，∴当n≥3时，a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）=5+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ+1，
经验证a₁=3，a₂=5也符合上式，
∴；
（2）由（1）可得，
∴①②，
①-②有：，
∴；
（3）∵，
∴，
∴Q_n=c₁f（1）+c₂f（2）+…+c_nf（n）
=
=．
点评：本题考查数列与不等式的综合、错位相减法及裂项相消法对数列求和，考查学生综合运用知识解决问题的能力．