题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=BB1=1 ，直线B1C与平面ABC成30°角，
（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角B-B1C-A的大小；
（Ⅲ）求点A1到平面B1AC的距离。
（Ⅰ）求证：平面B1AC⊥平面ABB1A1；
（Ⅱ）求二面角B-B1C-A的大小；
（Ⅲ）求点A1到平面B1AC的距离。
| （Ⅰ）证明：由直三棱柱性质知BB1⊥平面ABC， ∴  ，又  ，∴AC⊥平面  ，又  平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面  ， |
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（Ⅱ）解：以A为原点， 分别为x，y，z轴，建立如图的空间直角坐标系A-xyz， ∵直线B1C与平面ABC成30°角， ∴  ，则 ，则  ， ，连结A1B，易知  是平面B1AC的一个法向量， =（0，1，-1），设  为平面 的一个法向量，则  ，又  ，∴  ，令x=1得  ，得 ，设二面角  的大小为θ，则  ，∴二面角  的大小为 。（Ⅲ）又  ，∴点A1到平面B1AC的距离  。 |
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