Question

（2010•武汉模拟）若x2+y2=1，则

xy

x+y-1

的最大值为

1

2

(

2

+1)

．

Answer 1

分析：法1：令f=x+y，则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，所以f≤

2

．由xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

f2-1

2

，知

xy

x+y-1

=

f+1

2

≤

2 +1

2

．由此能求出

xy

x+y-1

的最大值．
法2：令x=cosa，y=sina，则 xy=cosa•sina=[（cos（

a

2

））²-（sin（

a

2

））²]•2sin（

a

2

）cos（

a

2

）=sin（

a

2

）•[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]•（1+cosa+sina），而x+y-1=sina+cosa-1=2sin（

a

2

）cos（

a

2

）-2（sin（

a

2

））²=2sin（

a

2

）•[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]，由此能求出

xy

x+y-1

的最大值．

解答：解法1：令f=x+y，
则f²=（x+y）²≤2（x²+y²）=2，
所以f≤

2

．
另一方面xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

f2-1

2

，
所以

xy

x+y-1

=

f+1

2

≤

2 +1

2

．
当x=y=

2

2

时，

xy

x+y-1

取到最大值

1

2

(

2

+1)．
解法2：令x=cosa，y=sina，
则 xy=cosa•sina=[（cos（

a

2

））²-（sin（

a

2

））²]•2sin（

a

2

）cos（

a

2

）
=2sin（

a

2

）•[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]•[cos（

a

2

）+sin（

a

2

）]•cos（

a

2

）
=sin（

a

2

）•[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]•（1+cosa+sina），
而x+y-1=sina+cosa-1
=2sin（

a

2

）cos（

a

2

）-2（sin（

a

2

））²
=2sin（

a

2

）•[cos（

a

2

）-sin（

a

2

）]，
所以

xy

x+y-1

=

1

2

（1+cosa+sina）
=

1

2

（1+

2

sin（a+

π

4

））
≤

1

2

（1+

2

），
所以当x=y=

2

2

时，

xy

x+y-1

的最大值为

1

2

(

2

+1)．

点评：本题考查函数值域的求法，解题时要认真审题．，仔细挖掘题设中的隐含条件，在解法1国要注意均值不等式的合理运用，在解法2中要注意三角函数的灵活运用．