题目内容

如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．底面ABCD为矩形，AD=
2
a，AB=
3
a，SA=SD=a．
（1）求证：CD⊥SA；
（2）求二面角S-AC-D的余弦值．
（3）设E为SB的中点，求点B到平面ACE的距离．
分析：（1）取BC的中点M，AD的中点P．以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明CD⊥SA．
（2）求出平面CSA的一个法向量和平面ADC的一个法向量．利用向量法能够求出二面角S-AC-D的余弦值．
（3）求出平面ACE的法向量和
AB
，利用向量法能求出点B到平面ACE的距离．
解答：解：（1）取BC的中点M，AD的中点P．
在△SAD中，SA=SD=a，P为AD的中点，所以，SP⊥AD．
又因为平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD=AD
所以，SP⊥平面ABCD．∴PM⊥AD．
如图，以P为坐标原点，PA为x轴，PM为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，
2
2
a），A（
2
2
a，0，0），B（
2
2
a，
3
a，0），
C（-
2
2
a，
3
a，0），D（-
2
2
a，0，0）．
∴
CD
=(0，-
3
a，0)，
SA
=(
2
2
a，0，-
2
2
a)
因为
CD
•
SA
=0，
所以CD⊥SA．
（2）设
n
=（x，y，z）为平面CSA的一个法向量，
则有
2
2
ax-
2
2
az=0
2
ax-a
3
y=0
，所以
n
=(
3
，
2
，
3
)．
SP⊥平面ACD，所以
m
=（0，0，1）为平面ADC的一个法向量．
所以cos＜
n
，
m
＞=
3
8
=
6
4
，
所以二面角S-AC-D的余弦值为
6
4
．
（3）∵E为SB的中点，∴E（
2
4
a，
3
2
a，
2
4
a），
∴
AC
=（-
2
a，
3
a，0），
AE
=（-
2
4
a，
3
2
a，
2
4
a），
设平面ACE的法向量为
p
=（x1，y1，z1），
则
-
2
ax1+
3
ay1=0
-
2
4
ax1+
3
2
ay1+
2
4
az1=0
，解得
p
=（
3
，
2
，-
3
），
∵
AB
=（0，
3
a，0），
∴点B到平面ACE的距离d=
|
AB
•
p
|
|
p
|
=
6
a
8
=
3
2
a．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．
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