Question

【题目】若数列满足n≥2时，，则称数列(n)为的“L数列”．

（1）若，且的“L数列”为，求数列的通项公式；

（2）若，且的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；

（3）若，其中p＞1，记的“L数列”的前n项和为，试判断是否存在等差数列，对任意n，都有成立，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1，＋∞)；（3）存在满足条件的等差数列，见解析

【解析】

（1）由题意知即，利用累乘法即可求得通项公式；（2）由可得，设，根据题意{bn}为递增数列，只需－＞0恒成立即可求得满足题意的k值；（3）根据的通项公式求出，利用放缩法及等比数列的前n项和公式可得，再次利用放缩可得，设，易证其为等差数列，结论成立.

（1）由题意知，即，

所以，

即数列的通项公式为.

（2）因为，且n≥2，n∈N*时，，所以，

设，n∈N*，所以1－．

因为{bn}为递增数列，所以对n∈N*恒成立，

即－＞0对恒成立．

因为－＝，

所以－＞0等价于．

当0＜k≤1时，因为n＝1时，，不符合题意．

当k＞1时，，所以，

综上，k的取值范围是．

（3）存在满足条件的等差数列，证明如下：

因为，k，

所以，又因为，所以，

所以，

即，因为，所以，

设，则，且，

所以存在等差数列满足题意．