Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2 ．

（1）求五棱锥A′﹣BCDFE的体积；
（2）求平面A′EF与平面A′BC的夹角．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接AC，设AC∩EF=H，

由ABCD是正方形，AE=AF=4，

得H是EF的中点，

且EF⊥AH，EF⊥CH，

从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，

∴EF⊥平面A′HC，

从而平面A′HC⊥平面ABCD，

过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，

则A′O⊥平面ABCD．

∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，

得到： ，CH=4 ，

∴cos∠A′HC= = ，

∴HO= ， ，

∴五棱锥A′﹣BCDFE的体积V= =

（2）解：由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3 ，即点O是AC，BD的交点，

如图以点O为原点，OA，OB，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，

则由题意知 ，B（0，3 ，0），C（﹣3 ，0，0），D（0，﹣3 ，0），

E（ ，2 ，0），F（ ，﹣2 ，0）， ，

∴ ， ， ， ，

设平面A′EF的法向量为 =（x，y，z），

则 ，

取x= ，得 ，

设平面A′BC的法向量 ，

则 ，

令y1=1，得 =（﹣1，1， ），

∴cos＜ ＞=0，即平面A′EF与平面A′BC夹角是

【解析】（1）连接AC，设AC∩EF=H，由已知条件推导出平面A′HC⊥平面ABCD，过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，则A′O⊥平面ABCD，由此能求出五棱锥A′﹣BCDFE的体积．（2）由（1）得A′O⊥平面ABCD，且CO=3 ，即点O是AC，BD的交点，以点O为原点，OA，OB，OA′所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A′EF与平面A′BC夹角．