Question

（2012•咸阳三模）已知等比数列{a_n}中，a₂，a₃，a₄分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且a1=

1

2

，公比q≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足：a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2n-1（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）求数列{a_n}的通项公式，{a_n}是等比数列，只要根据已知的条件求出首项和公比即可将通项公式写出来．
（2）则是根据数列a_n与b_n的关系，求出数列b_n的通项公式．然后用等比数列求和公式求出数列数列{b_n}的前n项和S_n，注意s₁单独求．

解答：解：（1）由已知条件得a₂-a₃=2（a₃-a₄）．
即a₁（q-q²）=2a₁（q²-q³）
整理得：2q³-3q²+q=0解得q=

1

2

或q=1（舍去）或q=0（舍去）
所以an=(

1

2

)n．
（2）当n=1时，a₁b₁=1，∴b₁=2，
当n≥2时，a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1+a_nb_n=2n-1（1）
a₁b₁+a₂b₂++a_n-1b_n-1=2n-3（2）
（1）-（2）得：a_nb_n=2
∵an=(

1

2

)n．∴b_n=2^{n+1（n≥2）}
因此bn=

2，n=1 2n+1，n≥2

当n=1时，S_n=S₁=b₁=2；
当n≥2时，Sn=b1+b2++bn=2+

8(1-2n-1)

1-2

=2n+2-6．
综上，S_n=2ⁿ⁺²-6．

点评：本题是一个求数列通项和数列求和问题．求数列通项时，注意首项要单独求．求数列前n项和时，s₁要单独球，学生容易犯错误．