Question

已知函数．
(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；
(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线 上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．
（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．

试题分析：（Ⅰ）由，得，
令，得或．
当变化时，及的变化如下表：

		-		+		-
		↘	极小值	↗	极大值	↘

由，，，
即最大值为，．                          4分
（Ⅱ）由，得．
，且等号不能同时取，，即 
恒成立，即．                     6分
令，求导得，，
当时，，从而，
在上为增函数，，．          8分
（Ⅲ）由条件，，
假设曲线上存在两点，满足题意，则， 只能在轴两侧，
不妨设，则，且．
是以为直角顶点的直角三角形，，
    ，
是否存在，等价于方程在且时是否有解．            10分
①若时，方程为，化简得，此方程无解；
②若时，方程为，即，
设，则，
显然，当时，，
即在上为增函数，
的值域为，即，当时，方程总有解．
对任意给定的正实数，曲线 上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．    14分
点评：难题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。涉及“不等式恒成立”问题，往往通过构造函数，转化成求函数的最值问题，利用导数加以解决。本题（III）需要分类讨论，易于出错，是叫男的一道题目。