Question

已知圆A：x²＋y²＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．

Answer 1

[解析]　解法一：设圆B的半径为r，∵圆B的圆心在直线l：y＝2x上，∴圆B的圆心可设为(t,2t)，则圆B的方程是(x－t)²＋(y－2t)²＝r²，即x²＋y²－2tx－4ty＋5t²－r²＝0.　①

∵圆A的方程x²＋y²＋2x＋2y－2＝0.　②

∴②－①，得两圆的公共弦方程(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t²＋r²－2＝0.　③

又∵圆B平分圆A的周长，∴圆A的圆心(－1，－1)必在公共弦上，于是，将x＝－1，y＝－1代入方程③，

并整理得：r²＝5t²＋6t＋6＝5²＋≥，所以t＝－时，r_min＝.

此时，圆B的方程是²＋²＝.

解法二：如图，设圆A、圆B的圆心分别为A、B.则A(－1，－1)，B在直线l：y＝2x上，连结AB，过A作MN⊥AB，且MN交圆于M、N两点．∴MN为圆A的直径．

∵圆B平分圆A，∴只需圆B经过M、N两点．

∵圆A的半径是2，设圆B的半径为r，

∴r＝|MB|＝＝.

欲求r的最小值，只需求|AB|的最小值．

∵A是定点，B是l上的动点，

∴当AB⊥l，即MN∥l时，|AB|最小．

于是，可求得B，r_min＝，

故圆B的方程是²＋²＝.