Question

若方程

1-x2

x+a

-1=0仅有一解，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由方程根与函数零点的关系，我们可将方程

1-x2

x+a

-1=0仅有一解，转化为函数y=

1-x2

与函数y=x+a的图象有且只有一个零点，在同一坐标系中画出两个函数的图象，分析可得答案．

解答：解：方程

1-x2

x+a

-1=0等价于

1-x2

=x+a．
方程

1-x2

x+a

-1=0仅有一解，即方程

1-x2

=x+a仅有一解，
∴函数y=

1-x2

与函数y=x+a的图象有且只有一个零点．
如图所示：
当a=

2

时，直线与半圆相切，满足要求，
当a∈（-1，1]时，直线与半圆相交但只有一个交点，满足要求，
∴实数a的取值范围为{

2

}∪（-1，1]．
故答案为：{

2

}∪（-1，1]．

点评：本题考查的知识点是函数零点与方程根的关系，其中方程根的个数与函数图象交点个数的转化思想及数形结合思想的引入是解答的关键．