Question

（本题满分14分）

已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,

F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角

平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（1）求M点的轨迹T的方程；

（2）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

，．

解析:

解：（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N,连结OM，

∵,  ∴≌ ∴M是线段的中点，

|----------------------------------------------------2分

∴ = ==

∵点P在椭圆上

∴＝    ∴＝4，----------------------4分

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分

（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点

A，B满足,

分别过A、B作直线OE的两条平行线、.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线、上.------------------------------------7分

∵   ∴直线、的方程分别为：、-------------------8分

设点 （ ）∵在轨迹T内，∴-------------------------9分

分别解与

得 与  -------------------------------------------------11分

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的--------------------------------------13分

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．-----------------------------14分