Question

已知f(x)=ax³+x²+cx+d是定义在R上的函数，其图象与x轴上的一个交点为(2,0)，若f(x)在［-1,0］和［4，5］上是减函数，在［0，2］上是增函数.

(1)求c的值；

(2)求d的取值范围；

(3)在函数f(x)的图象上是否存在一点M(x₀,y₀)，使得曲线y=f(x)在点M处切线的斜率为3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：f′(x)=3ax²+2x+c.

(1)∵f(x)在［-1，0］是减函数，在［0，2］上为增函数，

∴x=0点是f(x)的一个极值点.

∴f′(0)=0,

    即x=0是3ax²+2x+c=0的一个根，

∴c=0.

(2)∵f(2)=0,∴8a+4+d=0,d=-8a-4.

    令f′(x)=0得：3ax²+2x=0  ∴x₁=0,x₂=.

∵f(x)在［0,2］上为增函数，在［4,5］上为减函数，

∴x₂∈［2,4］,∴-6≤≤-3，即-≤a≤-.

∴≤-8a≤，

∴-≤-8a-4≤-，

    即-≤d≤-.

(3)假设存在点M(x₀,y₀),

    使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3，则f′(x₀)=3,

    即3a+2x₀=3,3a+2x₀-3=0,Δ=4+36a，

∵-≤a≤-.∴-12≤36a≤-6

∴Δ=4+36a＜0.

∴不存在点M(x₀,y₀)，使得曲线y=f(x)在点M处的切线的斜率为3.