Question

在△ABC中，三内角A，B，C，三边a，b，c满足

sin(A-B)

sin(A+B)

=

b+c

c

，
（1）求∠A；
（2）若a=6，求△ABC面积最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理把等式中的边转换成角的正弦，化简整理可求得cosA的值，进而可求A．
（2）把a和∠A代入余弦定理求得36=b²+c²-2bccos120°根据均值不等式求得bc的范围，进而代入三角形面积公式，根据bc的范围确定三角形面积的范围，进而可求的最大值．

解答：解：（1）以正弦定理可知等式可化为

sin(A-B)

sin(A+B)

=

sinA+sinB

sinC

，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴

sin(A-B)

sinC

=

sinB+sin(A+B)

sinC

，
故sinB=sin（A-B）-sin（A+B）=sinAcosB-cosAsianB-sianAcosnB-cosAsianB=-2cosAsianB．
又sinB≠0，
∴cosA=-

1

2

，∴∠A=120°
（2）根据余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
而a=6，∠A=120°，
∴36=b²+c²-2bccos120°=b²+c²+bc≥3bc，
即bc≤12，当b=c=2

3

时取等号，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤3

3

．
故三角形面积的最大值为3

3

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的关键是利用正弦定理和余弦定理完成三角形问题中边角问题的互换．