Question

【题目】已知函数， （为自然对数的底数）.

（1）若函数的图象在处的切线方程为，求， 的值；

（2）若时，函数在内是增函数，求的取值范围；

（3）当时，设函数的图象与函数的图象交于点、，过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）；（3）不存在.

【解析】试题分析：

(1)利用导函数与切线的关系得到方程，解方程可得， ；

(2)函数为增函数，则即在内恒成立，处理恒成立问题可得的取值范围是；

(3) 假设在点处的切线与在点处的切线平行，则， ①，讨论可得矛盾，假设不成立，

故在点处的切线与在点处的切线不平行.

试题解析：（1）当时， ，导数，

，

即函数的图象在处的切线斜率为，切点为，

函数的图象在处的切线方程为，

， ，

， ；

（2）时，函数在的解析式是，

导数，

函数在内是增函数，

即在内恒成立， ，

时， .

，故的取值范围是；

（3）假设在点处的切线与在点处的切线平行，

设点， ， ，

则由题意得点、的横坐标与中点的横坐标相等，且为，

时， ， ，

在点处的切线斜率为，

由于两切线平行，则，

即，则两边同乘以，得，

，

， ，

设，则， ①，

令， ，则，

， ， 在上单调递增，

， ，这与①矛盾，假设不成立，

故在点处的切线与在点处的切线不平行.