Question

已知函数f（x）=log₂．
（1）求函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

【答案】分析：（1）对数的真数部分大于零，即解不等式＞0，即 （x+1）（x-1）＜0，由此求得函数的定义域．
（2）函数f（x）为奇函数，根据函数的定义域为（-1，1），再由f（-x）=-f（x），可得结论．
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂＞1=log₂2，从而有 ，由此求得不等式的解集．
解答：解：（1）由题意可得＞0，即 ＜0，即 （x+1）（x-1）＜0，…..2分
解得-1＜x＜1，…..4分
函数的定义域为（-1，1）．  …..5分
（2）函数f（x）为奇函数．…..6分
证明：由第一问得，函数的定义域为（-1，1），…..7分
∵f（-x）==log₂ =-=-f（x），…..9分
所以函数f（x）为奇函数．…..10分
（3）解不等式f（x）＞1，即 log₂＞1=log₂2，…..11分
从而有 ，…..12分 
所以-1＜x＜-，…..14分
不等式f（x）＞1的解集为（-1，- ）．…..15分．
点评：本题主要考查对数函数的图象和性质的应用，分式不等式的解法，属于中档题．