Question

已知一几何体如图所示，正方形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，AB=

3

，EF=2，CF=4，∠BCF=∠CEF=90°．
（Ⅰ）求证：AE∥平面DCF； 
（Ⅱ）求该几何体的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明AE∥平面DCF； 
（Ⅱ）将该几何体分解为A-BEFG和F-ACD，然后利用锥体的体积公式求体积即可．

解答：解：（Ⅰ）∵ABCD为正方形，
∴AB∥CD，
∵AB?平面DCF，CD?平面DCF，
∴AB∥平面DCF，
又∵BE∥CF，BE?平面DCF，CF?平面DCF，
∴BE∥平面DCF，
∵且AB∩BE=E，AB∥平面DCF，BE∥平面DCF，
∴平面ABE∥平面DCF，
又∵AE?平面ABE，
∴AE∥平面DCF．
（Ⅱ）连接AC，
∵正方形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，
且∠BCF=90°，AB⊥BC，
∴AB⊥面BCFE，CF⊥面ABCD
∵EF=2，CF=4，∠CEF=90°，
∴CE=2

3

又AB=

3

，
∴BC=

3

，
∴BE=3．
∴该几何体的体积为V=V_A-BEFC+V_F-ACD=

1

3

×

3

×[

1

2

×

3

×(3+4)]+

1

3

×4×(

1

2

×

3

×

3

)=

11

2

．

点评：本题主要考查线面平行的判定和证明，以及几何体的体积，要求熟练掌握线面平行的判定定理和锥体的体积公式．