Question

某工厂要制造A种电子装置45台，B种电子装置55台，需用薄钢板给每台装置配一个外壳，已知薄钢板的面积有两种规格：甲种薄钢板每张面积2㎡，可做A、B的外壳分别为3个和5个，乙种薄钢板每张面积3㎡，可做A、B的外壳分别为5个和6个，求两种薄钢板各用多少张，才能使总的用料面积最小？

Answer 1

分析：根据已知条件中解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，则可做A种的外壳分别为3x+5y个，A种的外壳分别为5x+6y个，由题意得出约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．

解答：解：设用甲种薄金属板x张，乙种薄金属板y张，总的用料面积为z㎡．
则可做A种的外壳为3x+5y个，B种的外壳为5x+6y个，
由题意得：

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
所有薄金属板的总面积为：z=2x+3y
甲、乙两种薄钢板张数的取值范围如图中阴影部分所示（x，y取整数）．
要使z最小，目标函数表示的直线过点A（

5

7

，

60

7

），由于其不是整数点，
故平移过点A的直线：z=2x+3y，当其经过平面区域内的点（2，8）时，
这时面积为28㎡，此时直线同时也经过点（5，6）．
因此用甲、乙两种薄钢板的张数分别为2张、8张或者5张、6张，才能使总的用料面积最小．

点评：本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件⇒②由约束条件画出可行域⇒③分析目标函数Z与直线截距之间的关系⇒④使用平移直线法求出最优解⇒⑤还原到现实问题中．