Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求二面角A₁-BC-A的大小；
（3）求CC₁到平面A₁AB的距离．

Answer 1

分析：（1）欲证AC₁⊥平面A₁BC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC₁与平面A₁BC内两相交直线垂直，利用平面和平面垂直的性质定理可以证出BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁，满足定理条件；
（2）在证得BC⊥平面AA₁C₁C的基础上，可以知道∠A₁CA为面角A₁-BC-A的平面角，通过证明△A₁CA为正三角形得出∠A₁CA=60°
（3）取AA₁中点F，则AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，从而CH就是CC₁到平面A₁AB的距离，在Rt△BCF中，求出CH即可

解答：（1）证明：因为A₁D⊥平面ABC，所以平面AA₁C₁C⊥平面ABC，
又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA₁C₁C，
得BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁
所以AC₁⊥平面A₁BC；（4分）
（2）解：由（1）已证BC⊥平面AA₁C₁C，所以BC⊥AC，BC⊥A₁C，∠A₁CA为二面角A₁-BC-A的平面角．
由AC₁⊥平面A₁BC，得出AC₁⊥A₁C，所以平行四边形AA₁C₁C为菱形．
由于A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，所以A₁A=A₁C，所以△A₁CA为正三角形，得出∠A₁CA=60°
即二面角A₁-BC-A的大小为60°
（3）解：由（2）四边形AA₁C₁C为菱形，△A₁CA为正三角形，
故AA₁=AC=2，∠A₁AC=60°．
取AA₁中点F，则AA₁⊥CF又 AA₁⊥BC，所以AA₁⊥平面BCF，从而面A₁AB⊥面BCF，
过C作CH⊥BF于H，则CH⊥面A₁AB，
在Rt△BCF中，BC=2，CF=

3

，故CH=

2 21

7

，
即CC₁到平面A₁AB的距离为CH=

2 21

7

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，二面角的平面角大小计算，线面之间距离的计算．考查空间想象能力、转化、运算能力和推理论证能力．