题目内容
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点，
（Ⅰ）求证AC⊥BC1；
（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
（Ⅰ）求证AC⊥BC1；
（Ⅱ）求证AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值。
解：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC1；
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE
平面CDB1，AC1
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1。
（Ⅲ）∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，
，
∴
，
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
。
∴AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，
∴AC⊥BC1；
（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，
∴DE∥AC1，
∵DE
平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1。
（Ⅲ）∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角，
在△CED中，
，∴
， ∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
。 
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