Question

已知函数f（x）=+lnx-1（a是常数，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在上有两解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据x=2是函数f（x）的极值点则f′（2）=0，可求出a的值，然后求出f′（1）得到切线的斜率，最后根据点斜式可求出切线方程；
（II）先求导函数，然后利用导数研究函数在 上的单调性，求出函数的极值和区间端点的函数值，从而可求出m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ） 定义域为（0，+∞），f′（x）=a×（-）+=
∵x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）==0，解得a=2
∴f′（x）=∴f′（1）=-1
又f（1）=1
∴所求切线方程为y-1=-（x-1），即x+y-2=0为所求．…6分
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=，f′（x）=，其中，
当x∈[，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，e²]时，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在 上唯一的极小值点，
∴[f（x）]_min=f（1）=0
又f（）=e-2，f（e²）==，f（）-f（e²）=e-2--1＜0
综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e-2}．…12分．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究函数在闭区间上的值域，同时考查了计算能力，属于中档题．