Question

如图，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面 ABCD所成的角是30°，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（1）当点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE；
（3）求当BE的长为多少时，二面角P-DE-A的大小为45°。

Answer 1

解：（1）平行。
因为EF//PC，且EF平面PAC，PC平面PAC，
所以EF//平面PAC。
（2）∵PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，
 ∴PA⊥BE，
又BE⊥AB，AB∩AP=A，
所以BE⊥平面PAB，
又AF平面PAB ，
所以AF⊥BE，
又PA=AB=1，点F是PB的中点，
所以AF⊥PB，
又因为PB∩BE=B，
所以AF⊥平面PBE，
因为PE平面PBE，
所以AF⊥PE。
（3）过A作AG⊥DE于G，连结PG，
又DE⊥PA，则DE⊥平面PAG，
则∠PGA是二面角P-DE-A的平面角，
所以∠PGA=45°，
解得：BE=。