Question

已知函数,

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若对任意，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）当时，.………………2分

因为.

所以切线方程是        …………………………4分

（Ⅱ）函数的定义域是.  ………………5分

当时，

令，即，

所以或.    ……………………7分

当，即时，在［1，e]上单调递增，

所以在［1，e]上的最小值是；

当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；

当时，在（1，e）上单调递减，

所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………10分

（Ⅲ）设，则，

只要在上单调递增即可.…………………………10分

而

当时，，此时在上单调递增；……………………11分

当时，只需在上恒成立，因为，只要，

则需要，………………………………12分

对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，

即. 综上.