题目内容
已知a，b，c∈R+，a+b+c=1．（1）求（a+1）2+4b2+9c2的最小值；
（2）求证：
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
3
| ||
| 2 |
分析：（1）在（a+1）2+4b2+9c2的前面乘以，然后利用重要不等式（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）≥（am+bn+cp）2得到要代数式的最小值．
（2）在不等式的左边乘以[
+
)+(
+
)+(
+
)]利用重要不等式得到要证的不等式．
（2）在不等式的左边乘以[
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
解答：解：（1）因为a，b，c∈R+，a+b+c=1，所以
(1+
+
)[（a+1）2+4b2+9c2]≥[(a+1)+
•2b+
•3c]2=4，
得（a+1）2+4b2+9c2≥
．
当且仅当a+1=4b=9c，即a=
，b=
， c=
时，
（a+1）2+4b2+9c2有最小值
．
（2）因为(a+b+c)(12+12+12)≥(
+
+
)2，
所以∴
+
+
≤
，当且仅当a=b=c=取等号．
(
+
+
)•[
+
)+(
+
)+(
+
)]≥9
于是≥
≥
．
(1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
得（a+1）2+4b2+9c2≥
| 144 |
| 49 |
当且仅当a+1=4b=9c，即a=
| 23 |
| 49 |
| 18 |
| 49 |
| 7 |
| 49 |
（a+1）2+4b2+9c2有最小值
| 144 |
| 49 |
（2）因为(a+b+c)(12+12+12)≥(
| a |
| b |
| c |
所以∴
| a |
| b |
| c |
| 3 |
(
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| 1 | ||||
|
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
于是≥
| 9 | ||||||
2(
|
3
| ||
| 2 |
点评：证明不等式时，关键是如何凑成能利用重要不等式的形式，注意重要不等式中等号成立的条件．
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