Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足Sn+2an=10-12(

2

3

)n(n∈N*)，设bn=(

3

2

)n•an．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）若cn=

1

bn•bn+1

，求

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)的值；
（3）是否存在正实数k，使得(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)≥k

2n+1

对任意n∈N*都成立？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由Sn+2an=10-12(

2

3

)n，再写一式，两式相减，利用bn=(

3

2

)n•an，即可证得{b_n}为公差为2的等差数列；
（2）先确定{b_n}的通项公式，再利用裂项法求数列的和，进而可求极限；
（3）问题等价于

2•4•6…(2n)

1•3•5…(2n-1) 2n+1

≥k，令

2•4•6…(2n)

1•3•5…(2n-1) 2n+1

=f(n)，确定f（n）单调递增，求出函数的最小值，即可求实数k的取值范围．

解答：（1）证明：由Sn+2an=10-12(

2

3

)n①，可得Sn+1+2an+1=10-12(

2

3

)n+1②，
②-①，得an+1+2an+1-2an=12(

2

3

)n(1-

2

3

)=4(

2

3

)n
∴3an+1-2an=4(

2

3

)n，
∴bn+1=(

3

2

)n+1•an+1=(

3

2

)n+1[

2

3

an+

4

3

(

2

3

)n]=(

3

2

)n•an+2=bn+2
∴b_n+1-b_n=2，
∴{b_n}为公差为2的等差数列．
（2）解：由（1），b_n=b₁+2（n-1），在①中令n=1，得a1+2a1=10-12(

2

3

)1=2，∴a1=

2

3

，
∴b1=(

3

2

)1•

2

3

=1，∴bn=2n-1(n∈N*)，
∴cn=

1

bn•bn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴

lim

n→∞

(c1+c2+…+cn)=

lim

n→∞

[

1

2

(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

lim

n→∞

[

1

2

(1-

1

2n+1

)]=

1

2

．
（3）解：(1+

1

b1

)(1+

1

b2

)…(1+

1

bn

)≥k

2n+1

，即

2

1

•

4

3

•

6

5

…

2n

2n-1

≥k

2n+1

，
∴

2•4•6…(2n)

1•3•5…(2n-1) 2n+1

≥k，
令

2•4•6…(2n)

1•3•5…(2n-1) 2n+1

=f(n)，
∴

f(n+1)

f(n)

=

2•4•6…(2n)(2n+2)

1•3•5…(2n-1)(2n+1) 2n+3

•

1•3•5…(2n-1) 2n+1

2•4•6…(2n)

=

(2n+2) 2n+1

(2n+1) 2n+3

=

2n+2

2n+1 2n+3

=

(2n+2)2 (2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

=

1+ 1 4n2+8n+3

＞1，
又f（n）＞0，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）单调递增，
∴[f(n)]min=f(1)=

2 3

3

，
故要使f（n）≥k对任意n∈N^*都成立，当且仅当[f（n）]_min≥k，故k≤

2 3

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查裂项法求数列的和，考查恒成立问题，确定函数的单调性，求出函数的最小值是关键．