Question

已知抛物线x²=4y的焦点为F，准线与y轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=λ|MN|，则λ的取值范围是

[

2

2

，1]

．

Answer 1

分析：由题意可得F（0，1），M（0，-1），过点N作NH垂直于准线y=-1，垂足为H，由条件可得λ=

|NF|

|MN|

=

|NH|

|MN|

，当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1；当直线MN和抛物线相切时，λ=

|NH|

|MN|

=sinθ 有最小值．求出切线的斜率，可得sinθ的值，即为λ 的最小值．

解答：解：由题意可得F（0，1），M（0，-1），过点N作NH垂直于准线y=-1，垂足为H，
由抛物线的定义可得|NF|=|NH|．
由条件可得λ=

|NF|

|MN|

=

|NH|

|MN|

，如图所示：
故当点N与原点O重合时，|NH|=|MN|，λ有最大值为1．
当直线MN和抛物线相切时，λ=

|NH|

|MN|

=sinθ 有最小值，这里 θ=∠NMF．
设当直线MN和抛物线相切时，MN的方程为 y+1=kx，代入抛物线方程化简可得x²-4kx+4=0．
由题意可得，此方程的判别式△=0，即 16k²-16=0，∴k=±1，即 tanθ=1，
故sinθ=

2

2

，故λ 的最小值为

2

2

．
综上可得 λ∈[

2

2

，1]，
故答案为[

2

2

，1]．

点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．