题目内容

对于任意x∈R，f（x）=ax2+bx+c（a＜b）的值恒为非负实数，则
a+b+c
b-a
的最小值为（　　）
分析：先由已知条件找到a，b，c须满足的条件，从而可得
a+b+c
b-a
≥
(2a+b)2
4a
b-a
=
(2a+b)2
4a(b-a)
=
(3a+b-a)2
4a(b-a)
，结合基本不等式可求最小值
解答：解：①若a=0可知f（x）=bx+c为一次函数，函数值不可能恒为非负
②若a≠0，则由二次函数的性质可知，
a＞0
△=b2-4ac≤0

∵0＜a＜b
∴由b2≤4ac可得c≥
b2
4a

∴a+b+c≥a+b+
b2
4a
=
(2a+b)2
4a
=
(3a+b-a)2
4a(b-a)
≥
4•3a•(b-a)
4a

∴
a+b+c
b-a
≥
(2a+b)2
4a
b-a
=
(2a+b)2
4a(b-a)
=
(3a+b-a)2
4a(b-a)
≥
4(b-a)×3a
4a(b-a)
=3
当且仅当3a=b+a即b=4a，且c=4a时取等号
故
a+b+c
b-a
的最小值为3
故选D
点评：二次函数中的恒成立问题：大于0恒成立，须开口向上且判别式小于0，还要注意基本不等式（a+b）2≥4ab在求解最值中的应用
练习册系列答案
相关题目
20、已知函数f（x）=-ex+kx+1，x∈R．
（I）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；
（II）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．
已知函数f（x）=ex-kx，其中k∈R；
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：当k＞ln2-1且x＞0时，f（x）＞x2-3kx+1．
已知函数f（x）=esinx-ksinx．
（Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若对于任意x∈R，f（x）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+f（-x）-m在x∈[
π
4
，
3π
4
]上有两个零点，求实数m的取值范围．
已知定义在R上的奇函数f（x）满足：对于任意x∈R有f（x+1）=-f（x），对于任意0≤x1＜x2≤
1
2
有f（x2）＞f（x1），则下列各式中正确的是（　　）
已知f（x）=m（x-2m）（x+m+3），g（x）=2x-2，若满足对于任意x∈R，f（x）＜0和g（x）＜0至少有一个成立．则m的取值范围是
 
．

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