题目内容

已知函数 $数学公式$ ：
（1）求函数f（x）的周期、值域和单调递增区间；
（2）当 $数学公式$ 时，求函数f（x）的最值．

解：（1） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x+ $\text{[math]}$ =sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$
∴函数的最小正周期T= $\text{[math]}$ =π，
-1≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1，故函数的值域为[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
当2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，即kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，函数单调增，
故函数的单调增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]（k∈Z）
（2）∵ $\text{[math]}$
∴2x+ $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]
∴当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时函数的最小值为- $\text{[math]}$ ，
当2x+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时函数的最大值为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1
分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得函数的周期以及单调增区间．
（2）根据（1）的函数的解析式，利用x的范围进而确定2x+ $\text{[math]}$ 的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最值．
点评：本题主要考查了正弦函数的定义域和值域，两角和公式和二倍角公式的化简求值，正弦函数的单调性等．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．