Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，PD与平面ABCD所成角是30°，点F中PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）当CE=

2

时，求二面角P-DE-A的大小．

Answer 1

分析：（1）由题意可得此题是证明线面垂直的问题，即证明直线AF垂直于平面PBE，而当点E在BC上无论怎样运动时直线PE都在此平面内，因此只需证明已知直线垂直于平面内的两条相交直线即可．
（2）过A作AG⊥DG于G，连PG，根据二面角的定义可得∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，由PD与平面ABCD所成角是30°，CE=

2

，PA=AB=1，解Rt△PAG可得二面角P-DE-A的大小．

解答：证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
∴EB⊥PA，
又∵EB⊥AB，AB∩AP=A，AB，AP?平面PAB，
∴EB⊥平面PAB，
又∵AF?平面PAB，
∴AF⊥BE，
又∵PA=AB=1，点F是PB的中点，
∴AF⊥平面PBE．
∵PE?平面PBE，
∴AF⊥PE．
（2）过A作AG⊥DG于G，连PG，
∵DE⊥PA，
∴DE⊥平面PAG，则∠PAG是二面角P-DE-A的平面角，
∵PD与平面ABCD所成角是30°，
∴∠PDA=30°，
又∵PA=AB=1．ABCD为矩形
∴AD=

3

又∵CE=

2

，
∴DE=

3

S_△ADE=

1

2

DE•AG=

1

2

×

3

×1=

3

2

=

1

2

×

3

AG
∴AG=1，PG=

2

在Rt△PAG中，cos∠PAG=

AG

PG

=

1

2

=

2

2

∴二面角P-DE-A的大小为45°

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，得到有关线面垂直、线线垂直的结论，以及利用这些垂直关系解决二面角问题．